永住許可の申請をしましたが、その後、海外に行っても問題はないでしょうか。

基本的に再入国許可を取得すれば、海外旅行や出張などはできます。しかし、長期間になる場合などは永住権の取得条件を満たさなくなる場合があります。また、永住許可の審査の間、本人が日本にいないと、マイナスの評価となります。そのため、仕事の場合は日本に安定していられる時期に申請するか、旅行の場合は審査期間中はがまんする方がよいと思います。